环与子环

• 环的定义
  • 代数结构：
    1. $(R,+)$ 是交换群（阿贝尔群）。
    2. $(R,\cdot )$ 是半群（满足封闭性、结合律）。
    3. 满足分配律：$a(b+c)=ab+ac$。
  • 特殊类型的环：
    • 交换环：乘法满足交换律 ($ab=ba$)。
    • 含幺环：存在乘法单位元 ($1$)。
• 零因子与消去律
  • 零因子：$a\ne 0,b\ne 0$ 但 $ab=0$。
    • 性质：无零因子的环满足消去律 ($ab=ac,a\ne 0⟹b=c$)。
• 子环 (Subrings)
  • 判定条件（充要）：
    1. $(S,+)$ 是子群（$a-b\in S$）。
    2. 对乘法封闭（$ab\in S$）。