理想

• 定义：环 $R$ 的加法子群 $I$，满足“吸纳性”。
  • 左理想：$r\in R,a\in I⟹ra\in I$。
  • 右理想：$r\in R,a\in I⟹ar\in I$。
• 地位：理想之于环，犹如正规子群之于群（用于构造商环）。
• 主理想与主理想整环 (PID)
  • 主理想 $(a)$：由单个元素生成的理想（如 $n\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 中的主理想）。
  • 主理想整环：每个理想都是主理想的整环（例如 $\mathbb{Z}$）。