中心极限定理

中心极限定理的核心思想：大量相互独立的随机变量之和，近似服从正态分布。

1. 列维-林德伯格定理 (Levy-Lindberg CLT)

• 条件：$X_1,X_2,\dots$ 独立同分布，$E(X_i)=\mu ,D(X_i)={\sigma }^2>0$。
• 结论：当 $n$ 充分大时，和 $S_n=\sum X_i$ 近似服从 $N(n\mu ,n{\sigma }^2)$。
• 标准化公式 (解题核心)： $Z_n=\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }\stackrel{d}{\to }N(0,1)$

计算步骤：

1. 确定单个变量的 $\mu ,\sigma$。
2. 写出和 $Y=\sum X_i$ 的期望 $E(Y)=n\mu$ 和方差 $D(Y)=n{\sigma }^2$。
3. 标准化查表：$P(Y\le a)\approx \Phi (\frac{a-n\mu }{\sqrt{n}\sigma })$。

2. 棣莫弗-拉普拉斯定理 (De Moivre-Laplace CLT)

这是列维定理在二项分布中的特例。

• 条件：$Y_n\sim B(n,p)$ （$n$ 很大）。
• 结论：$Y_n$ 近似服从 $N(np,np(1-p))$。
• 标准化公式： $\frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\approx N(0,1)$

易错点：分母是标准差 $\sqrt{np(1-p)}$，千万别忘了开根号。