事件的独立性

定义

如果事件A的发生不影响事件B发生的概率，即： $P(A|B)=P(A)$ 等价于数学定义式： $P(AB)=P(A)P(B)$

独立 vs 互不相容 (Exclusive vs Independent)

这是一个高频概念混淆点：

• 互不相容 (互斥)：$AB=\varnothing \Rightarrow P(AB)=0$。
  • 含义：A发生，B一定不发生。这说明它们极度相关（负相关）。
• 相互独立：$P(AB)=P(A)P(B)$。
  • 含义：A发生与否对B无任何信息量的贡献。

结论：若 $P(A)>0,P(B)>0$，则”互不相容”与”相互独立”不能同时成立。

多个事件的独立性

对于三个事件 $A,B,C$：

1. 两两独立： $P(AB)=P(A)P(B)$ $P(AC)=P(A)P(C)$ $P(BC)=P(B)P(C)$
2. 相互独立（更强的条件）： 必须同时满足两两独立以及： $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$

注意：两两独立 $\nRightarrow$ 相互独立。相互独立 $\Rightarrow$ 两两独立。

伯努利概型 (Bernoulli Trials)

即 $n$ 重独立重复试验。

• 只有两个结果：成功 ($A$)、失败 ($\bar{A}$)。
• $P(A)=p$，每次互不影响。
• $n$ 次试验中A恰好发生 $k$ 次的概率（二项分布模型）： $P_n(k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$