回归方程的显著性检验

建立方程后，必须检验 $x$ 对 $y$ 是否真的有线性影响。

1. 假设检验问题

$H_0:b=0\text{vs}{H}_1:b\ne 0$ 如果接受 $H_0$，说明 $x$ 的变化不会引起 $y$ 的线性变化，回归方程无意义。

2. 检验方法 (三种等价)

(1) 相关系数法 (最常用)

$r=\frac{L_{xy}}{\sqrt{L_{xx}{L}_{yy}}}$

• $|r|\le 1$。
• $|r|$ 越接近1，线性相关越强。
• 判据：查表，若 $|r|>r_{\alpha }(n-2)$，则拒绝 $H_0$（显著）。

(2) t 检验法

构造统计量： $t=\frac{\hat{b}\sqrt{L_{xx}}}{\hat{\sigma }}\sim t(n-2)$ 其中 $\hat{\sigma }=\sqrt{\frac{Q_e}{n-2}}$ 是剩余标准差。

(3) F 检验法 (方差分析)

分解总变差：$SST=SSR+SSE$ ($L_{yy}=U+Q$)

• SST ($L_{yy}$)：总平方和。
• SSR ($U=\hat{b}{L}_{xy}$)：回归平方和（由 $x$ 引起的变化）。
• SSE ($Q=L_{yy}-U$)：残差平方和（随机误差）。

构造统计量： $F=\frac{SSR/1}{SSE/(n-2)}\sim F(1,n-2)$ 判据：$F>F_{\alpha }(1,n-2)$ 则拒绝 $H_0$。

3. 判定系数 $R^2$

$R^2=\frac{SSR}{SST}=r^2$ 表示 $y$ 的波动中有多少比例可以由 $x$ 解释。越接近1拟合越好。