方差与标准差

定义

描述 $X$ 取值的分散程度。 $D(X)=E\left[(X-E(X){)}^2\right]$ 标准差：$\sigma (X)=\sqrt{D(X)}$

计算公式 (口诀：平方的期望 - 期望的平方)

$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$

做题步骤：先算 $E(X)$，再用 LOTUS 算 $E(X^2)$，最后相减。

核心性质

1. $D(C)=0$
2. $D(CX)=C^{2}D(X)$ （注意系数平方）
3. $D(X+C)=D(X)$ （平移不改变离散度）
4. 和的方差：
   • 一般情况：$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2Cov(X,Y)$
   • 若 $X,Y$ 相互独立：$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$ （注意减号也是变加号）

切比雪夫不等式 (Chebyshev’s Inequality)

任意随机变量，只要期望和方差存在： $P\{|X-E(X)|\ge \epsilon \}\le \frac{D(X)}{{\epsilon }^2}$

考点：估算概率上界，或者已知概率反求区间。