条件概率与乘法公式

定义

在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率： $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)},\text{其中 }P(B)>0$

直观理解：样本空间从 $\Omega$ 缩减到了 $B$。

乘法公式 (Multiplication Rule)

由定义移项可得： $P(AB)=P(B)P(A|B)$ $P(AB)=P(A)P(B|A)$

推广 (链式法则)： $P(A_1{A}_2\dots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1{A}_2)\dots P(A_n|A_1\dots A_{n-1})$ 应用场景：抽签问题（不放回抽样），分步进行的试验。

⚠️ 易错点

• $P(B|A)\ne P(A|B)$。
• 条件概率 $P(\cdot |B)$ 也是一种概率，满足所有概率公理（如 $P(\bar{A}|B)=1-P(A|B)$）。