概率的定义与性质

公理化定义 (柯尔莫哥洛夫)

1. 非负性：$P(A)\ge 0$
2. 规范性：$P(\Omega )=1$
3. 可列可加性：若 $A_1,A_2,\dots$ 两两互不相容，则 $P({\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i)={\sum }_{i=1}^{\infty }P(A_i)$

常见概型

1. 古典概型 (Classical Probability)：
   • 条件：有限个样本点，每个样本点等可能。
   • 公式：$P(A)=\frac{A\text{包含的基本事件数}}{\Omega \text{的基本事件总数}}$
   • 技巧：熟练运用排列组合（$A_n^m,C_n^m$）。
2. 几何概型：
   • 条件：样本空间是几何区域（线段、面积、体积），等可能落入。
   • 公式：$P(A)=\frac{\mu (A)}{\mu (\Omega )}$ （$\mu$表示度量）。

重要性质公式

1. 加法公式 (General Addition Rule)： $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

   推广到三事件：$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-[P(AB)+P(AC)+P(BC)]+P(ABC)$

2. 减法公式： $P(A-B)=P(A)-P(AB)$

   特别地，如果 $B\subset A$，则 $P(A-B)=P(A)-P(B)$。