非线性回归的线性化

考试中如果出现“非线性”，通常需要通过变量代换转化为线性模型。

常见变换表

原模型	变换方法	线性化形式 $Y=A+BX$
双曲线 $y=a+\frac{b}{x}$	令 $X=1/x$	$y=a+bX$
幂函数 $y=a{x}^b$	两边取对数 $\ln y=\ln a+b\ln x$	$Y=A+bX$ ($Y=\ln y,X=\ln x,A=\ln a$)
指数函数 $y=a{e}^{bx}$	两边取对数 $\ln y=\ln a+bx$	$Y=A+bx$ ($Y=\ln y,A=\ln a$)
倒数函数 $y=\frac{1}{a+bx}$	取倒数 $1/y=a+bx$	$Y=a+bx$ ($Y=1/y$)

解题步骤：

1. 观察散点图或题目公式，确定变换方式。
2. 对数据 $x_i,y_i$ 进行变换，得到 $X_i,Y_i$。
3. 用 $X_i,Y_i$ 算出线性参数 $\hat{A},\hat{B}$。
4. 还原回原参数 $a,b$（注意 $\ln a=A\Rightarrow a=e^A$）。