麦克斯韦速率分布

麦克斯韦速率分布函数

$f(v)=4\pi (\frac{m}{2\pi k_{B}T}{)}^{3/2}{v}^2{e}^{-\frac{m{v}^2}{2k_{B}T}}$ 物理意义：$f(v)dv$ 表示速率在 $v$ 到 $v+dv$ 区间内的分子数占总分子数的百分比。

三种统计速率 (必考!)

1. 最概然速率 (Most Probable Speed, $v_p$)
   • 对应分布曲线峰值。
   • $v_p=\sqrt{\frac{2RT}{\mu }}=\sqrt{\frac{2k_{B}T}{m}}$
2. 平均速率 (Average Speed, $\bar{v}$)
   • 用于计算平均自由程。
   • $\bar{v}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu }}=\sqrt{\frac{8k_{B}T}{\pi m}}\approx 1.60\sqrt{\frac{RT}{\mu }}$
3. 方均根速率 (Root Mean Square Speed, $v_{rms}$)
   • 用于计算能量。
   • $v_{rms}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3RT}{\mu }}=\sqrt{\frac{3k_{B}T}{m}}$

大小关系

$v_p<\bar{v}<v_{rms}$ (比例系数分别为 $\sqrt{2}:\sqrt{8/\pi }:\sqrt{3}$)