同构与同态

• 同态映射 (Homomorphism)

  • 定义：满足 $f(a\cdot b)=f(a)\odot f(b)$ 的映射。
  • 性质：保持运算结构。
  • 分类：单同态（单射）、满同态（满射）、自同态。

• 同构映射 (Isomorphism)

  • 定义：双射（一一映射）的同态。
  • 记号：$G\cong G^{\prime }$。
  • 意义：两个群在代数结构上完全相同（如实数加法群与正实数乘法群同构）。

• ⚠️ 难点：同态核 (Kernel)

  • 定义：$ker(f)=\{a\in G\mid f(a)=e^{\prime }\}$。
  • 核的性质：
    1. $ker(f)$ 是 $G$ 的子群。
    2. 单同态判定：$f$ 是单同态 $⟺ker(f)=\{e\}$。
  • 像子群：$Im(f)=\{f(a)\mid a\in G\}$ 也是 $G^{\prime }$ 的子群。