群

定义

• 群的定义

  • 四条公理：
    1. 封闭性：$\forall a,b\in G⟹ab\in G$
    2. 结合律：$(ab)c=a(bc)$
    3. 单位元 ($e$)：存在 $e$ 使得 $ea=ae=a$
    4. 逆元 ($a^{-1}$)：存在 $b$ 使得 $ab=ba=e$
  • 阿贝尔群 (Abelian Group)：满足交换律的群。
  • 常见例子：整数加法群 $(\mathbb{Z},+)$、模 $2$ 加法群（异或）、可逆矩阵乘法群。

• 群的基本性质

  • 唯一性：单位元唯一、逆元唯一。
  • 运算律：
    • $(a^{-1}{)}^{-1}=a$
    • $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$
    • 消去律：$ax=a{x}^{\prime }⟹x=x^{\prime }$。
  • 方程可解性：群中方程 $ax=b$ 和 $ya=b$ 必有解。

• 群的阶与元素的幂

  • 群的阶 $|G|$：群中元素的个数。
  • 元素的幂：$a^n$ (连乘) 与 $a^{-n}$ (逆元的连乘)。

子群

• 平凡子群与真子群
  • 平凡子群：$G$ 本身和单位元集 $\{e\}$。
• ⚠️ 核心考点：子群判定定理
  1. 充要条件一（两步法）：
     • (1) $a,b\in H⟹ab\in H$ (封闭)
     • (2) $a\in H⟹a^{-1}\in H$ (逆元封闭)
  2. 充要条件二（一步法）：
     • $\forall a,b\in H⟹a{b}^{-1}\in H$。
  3. 充要条件三（有限集）：
     • 若 $H$ 是有限非空子集，只需满足封闭性 ($ab\in H$)。

特殊群

循环群

• 循环群的定义
  • 定义：$G=⟨g⟩=\{g^k\mid k\in \mathbb{Z}\}$。
  • 分类：无限循环群（同构于 $\mathbb{Z}$）、$n$ 阶有限循环群（同构于 ${\mathbb{Z}}_n$）。
• 元素的阶 (Order of an Element)
  • 定义：使 $a^k=e$ 成立的最小正整数 $k$。
  • ⚠️ 计算核心：在 $n$ 阶循环群中，元素 $g^k$ 的阶为： $|g^k|=\frac{n}{\gcd (n,k)}$
• 循环群的子群结构
  • 定理：循环群的子群一定是循环群。
  • 唯一性定理：对于 $n$ 阶循环群，对于 $n$ 的每一个正因子 $d$，有且仅有一个 $d$ 阶子群。

剩余类群

• 剩余类群的定义
  • ${\mathbb{Z}}_n$：模 $n$ 的剩余类集合，对模 $n$ 加法构成群。
  • 它是 $n$ 阶循环群的标准模型。
• 同构定理
  • 任意无限循环群 $\cong (\mathbb{Z},+)$。
  • 任意 $n$ 阶有限循环群 $\cong ({\mathbb{Z}}_n,+)$。

商群

• 定义：$G/H=\{aH\mid a\in G\}$。
• 运算：$(aH)(bH)=(ab)H$。
• 前提：必须是正规子群，商群的运算才定义良好 (Well-defined)。

正规子群

• 定义：对于任意 $a\in G$，都有 $aH=Ha$（左陪集=右陪集）。记作 $H◃G$。
• 判定条件：$\forall a\in G,h\in H⟹ah{a}^{-1}\in H$。
• 注：阿贝尔群的所有子群都是正规子群。