三大抽样分布

这些分布主要用于正态总体的统计推断。

1. ${\chi }^2$ 分布 (卡方分布)

• 定义：设 $X_1,\dots ,X_n\sim N(0,1)$ 且相互独立，则 ${\chi }^2={\sum }_{i=1}^n{X}_i^2\sim {\chi }^2(n)$
• 自由度 $n$：独立变量的个数。
• 性质：
  • 可加性：若 $X\sim {\chi }^2(n),Y\sim {\chi }^2(m)$ 且独立，则 $X+Y\sim {\chi }^2(n+m)$。
  • 期望方差：$E({\chi }^2)=n,D({\chi }^2)=2n$。

2. $t$ 分布 (Student’s t-distribution)

• 定义：设 $X\sim N(0,1),Y\sim {\chi }^2(n)$ 且独立，则 $T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$
• 形态：关于 $y$ 轴对称，类似正态分布但“尾部更厚”（厚尾）。
• 性质：$n\to \infty$ 时，$t(n)\to N(0,1)$。

3. $F$ 分布

• 定义：设 $U\sim {\chi }^2(n_1),V\sim {\chi }^2(n_2)$ 且独立，则 $F=\frac{U/n_1}{V/n_2}\sim F(n_1,n_2)$
• 性质 (倒数关系)： $F\sim F(n_1,n_2)⟹\frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1)$ $F_{1-\alpha }(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{\alpha }(n_2,n_1)}$ （查表必用公式）。