假设检验的基本思想与两类错误

1. 两个假设

• 原假设 ($H_0$, Null Hypothesis)：通常是我们想要拒绝的、维持现状的、包含等号的假设（如 $\mu ={\mu }_0$）。
• 备择假设 ($H_1$, Alternative Hypothesis)：通常是我们想要证明的、有显著差异的假设（如 $\mu \ne {\mu }_0$）。

2. 检验逻辑：反证法

先假设 $H_0$ 成立，如果由此推导出的样本结果是一个小概率事件（概率 $\le \alpha$），则拒绝 $H_0$；否则无法拒绝 $H_0$（接受 $H_0$）。

3. 两类错误

真实情况	决定：接受 $H_0$	决定：拒绝 $H_0$
$H_0$ 为真	正确	第一类错误 (弃真) 概率 = $\alpha$ (显著性水平)
$H_0$ 为假	第二类错误 (取伪) 概率 = $\beta$	正确 (功效 = $1-\beta$)

重要原则：

1. 我们通常只控制第一类错误 $\alpha$（如 0.05）。
2. 样本量 $n$ 固定时，$\alpha$ 减小会导致 $\beta$ 增大（跷跷板效应）。唯一能同时减小两者的方法是增加样本量 $n$。