全概率公式与贝叶斯公式

完备事件组 (Partition)

一组事件 $B_1,B_2,\dots ,B_n$ 满足：

1. 两两互不相容 ($B_i{B}_j=\varnothing ,i\ne j$)。
2. 并集为全集 ($\bigcup B_i=\Omega$)。
3. $P(B_i)>0$。

全概率公式 (Total Probability Theorem)

“由因求果”：如果事件A发生依赖于多种可能的情况（$B_i$），则A发生的总概率是各情况分量的加权和。

$P(A)={\sum }_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$

• $B_i$：原因/划分。
• $P(B_i)$：先验概率。
• $P(A|B_i)$：在特定原因下A发生的概率。

贝叶斯公式 (Bayes’ Theorem)

“由果索因”：已知事件A（结果）已经发生，推断它是由第 $k$ 个原因 $B_k$ 引起的概率（后验概率）。

$P(B_k|A)=\frac{P(A{B}_k)}{P(A)}=\frac{P(B_k)P(A|B_k)}{{\sum }_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)}$

• 分子：该特定原因导致结果的“分量”。
• 分母：导致结果的所有可能性的“总量”（全概率）。

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解题模型（如医疗诊断、工厂次品率）：

1. 设 $B_1,B_2$ 为来源/病因（完备事件组）。
2. 设 $A$ 为观测到的结果（如检测阳性、抽到次品）。
3. 题目通常给 $P(B_i)$ 和 $P(A|B_i)$。
4. 求 $P(A)$ 用全概率；求 $P(B_k|A)$ 用贝叶斯。