函数的分布_卷积公式与极值

和的分布 ($Z=X+Y$)：卷积公式

若 $X,Y$ 相互独立，则 $Z=X+Y$ 的密度函数为： $f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx$ 或者 $f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)dy$

重要结论 (分布的可加性)：

• 二项分布：$X\sim B(n,p),Y\sim B(m,p)⟹X+Y\sim B(n+m,p)$
• 泊松分布：$X\sim P({\lambda }_1),Y\sim P({\lambda }_2)⟹X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2)$
• 正态分布：$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)⟹X+Y\sim N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$

最大值与最小值分布 (Order Statistics)

设 $X_1,\dots ,X_n$ 相互独立，分布函数均为 $F(x)$。

1. 最大值 $M=\max (X_1,\dots ,X_n)$

$F_{max}(z)=P(\text{所有 }{X}_i\le z)=[F(z){]}^n$

逻辑：最大值都小于 $z$，说明每一个都得小于 $z$（“串联”逻辑）。

2. 最小值 $N=\min (X_1,\dots ,X_n)$

$F_{min}(z)=1-P(\text{所有 }{X}_i>z)=1-[1-F(z){]}^n$

逻辑：最小值都小于 $z$，反面是最小值大于 $z$，即每一个都大于 $z$。

一般变换法 (分布函数法)

对于一般的 $Z=g(X,Y)$（如 $Z=X/Y,Z=X^2+Y^2$）：

1. 写出定义：$F_Z(z)=P(g(X,Y)\le z)={\iint }_{g(x,y)\le z}f(x,y)dxdy$。
2. 根据 $z$ 的范围画图，计算二重积分。
3. 求导得 $f_Z(z)$。