切比雪夫不等式与依概率收敛

切比雪夫不等式 (Chebyshev’s Inequality)

对于任意随机变量 $X$，只要 $E(X)=\mu ,D(X)={\sigma }^2$ 存在，则对任意 $\epsilon >0$：

$P\{|X-\mu |\ge \epsilon \}\le \frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}$

或者等价形式（概率下界）： $P\{|X-\mu |<\epsilon \}\ge 1-\frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}$

应用场景

1. 已知分布未知，求概率界限：给定期望方差，估算 $X$ 落在某区间的概率。
2. 确定样本量：给定精度 $\epsilon$ 和置信水平 $1-\alpha$，求需多少次试验。

依概率收敛 (Convergence in Probability)

设序列 $X_1,X_2,\dots$ 和常数 $a$。如果对任意 $\epsilon >0$： ${\lim }_{n\to \infty }P\{|X_n-a|<\epsilon \}=1$ 则称 $X_n$ 依概率收敛于 $a$，记为 $X_n\stackrel{P}{\to }a$。

直观理解：当 $n$ 足够大时，$X_n$ 取值偏离 $a$ 的可能性趋近于0（虽然仍可能偏离，但概率极小）。