区间估计_枢轴变量法

核心口诀：一均值用 $Z$ 或 $t$，一方差用 ${\chi }^2$。

单个正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$

1. 估计均值 $\mu$

• ${\sigma }^2$ 已知：选枢轴变量 $Z$ $Z=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$ 置信区间：$\bar{x}\pm u_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$
• ${\sigma }^2$ 未知 (考试重点)：选枢轴变量 $T$（用 $S$ 代替 $\sigma$） $T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$ 置信区间：$\bar{x}\pm t_{\alpha /2}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}$

2. 估计方差 ${\sigma }^2$

• $\mu$ 未知：选枢轴变量 ${\chi }^2$ ${\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$ 置信区间： $\left(\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)}\right)$

  注意：${\chi }^2$ 分布不对称，分母分别是右侧分位数和左侧分位数（大数在左，小数在右）。

两个正态总体 (简记)

• 均值差 ${\mu }_1-{\mu }_2$：若 ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ 未知，用 $t$ 分布（“混合”样本方差 $S_w$）。
• 方差比 ${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2$：用 $F$ 分布。