常见分布汇总

1. 均匀分布 (Uniform)

• 记号：$X\sim U(a,b)$
• 密度函数： $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a<x<b\\ 0,& \text{其他}\end{array}$
• 分布函数： $F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<a\\ \frac{x-a}{b-a},& a\le x<b\\ 1,& x\ge b\end{array}$
• 特点：落在某区间的概率只与区间长度有关，与位置无关（几何概型）。

2. 指数分布 (Exponential)

• 记号：$X\sim E(\lambda )$ （$\lambda >0$, 常指失效率/到达率）
• 密度函数： $f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$
• 分布函数： $F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$
• 核心性质：无记忆性 $P(X>s+t|X>s)=P(X>t)$

  含义：已经工作了 $s$ 小时的元件，再工作 $t$ 小时的概率，等同于全新元件工作 $t$ 小时的概率。

3. 正态分布 (Normal / Gaussian)

• 记号：$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

• 密度函数： $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

  • $\mu$：位置参数（对称轴 $x=\mu$）。
  • $\sigma$：形状参数（$\sigma$ 越小图形越尖峭，$\sigma$ 越大越平缓）。

• 标准正态分布：$Z\sim N(0,1)$

  • 密度 $\phi (x)$，分布 $\Phi (x)$。
  • 重要性质：$\Phi (-x)=1-\Phi (x)$。

• 标准化公式 (解题核心)： 若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$ 计算概率时： $P(a<X<b)=\Phi \left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right)-\Phi \left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right)$

• 3$\sigma$ 原则： $P(|X-\mu |<3\sigma )\approx 0.9974$