数学期望

定义

期望 $E(X)$ 是随机变量取值的加权平均。

1. 离散型

$E(X)={\sum }_k{x}_k{p}_k$

要求绝对收敛：$\sum |x_k|p_k<\infty$。

2. 连续型

$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$

要求绝对收敛：$\int |x|f(x)dx<\infty$。

随机变量函数的期望 (LOTUS 定理)

无需先求 $Y=g(X)$ 的分布，直接用 $X$ 的分布计算。

• 离散：$E[g(X)]=\sum g(x_k)p_k$
• 连续：$E[g(X)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx$
• 二维连续：$E[g(X,Y)]=\iint g(x,y)f(x,y)dxdy$

核心性质 (线性性质)

无论 $X,Y$ 是否独立，以下恒成立：

1. $E(C)=C$
2. $E(CX)=CE(X)$
3. $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ （解题神器，可推广到 $n$ 项）

独立下的性质： 若 $X,Y$ 相互独立，则 $E(XY)=E(X)E(Y)$。