正态总体的参数检验_均值与方差

这部分与区间估计完全对应，只是把“找范围”变成了“看统计量落在哪”。

1. 单个正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$

(1) 检验均值 $\mu$ (${\sigma }^2$ 已知) —— $Z$ 检验

• 统计量：$Z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$
• 拒绝域 (显著性水平 $\alpha$)：
  • $H_1:\mu \ne {\mu }_0$ (双侧) $\Rightarrow |z|>u_{\alpha /2}$
  • $H_1:\mu >{\mu }_0$ (右侧) $\Rightarrow z>u_{\alpha }$
  • $H_1:\mu <{\mu }_0$ (左侧) $\Rightarrow z<-u_{\alpha }$

(2) 检验均值 $\mu$ (${\sigma }^2$ 未知) —— $t$ 检验 (考试重点)

• 统计量：$T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$
• 拒绝域：
  • $H_1:\mu \ne {\mu }_0$ $\Rightarrow |t|>t_{\alpha /2}(n-1)$
  • 单侧同理，用 $t_{\alpha }(n-1)$。

(3) 检验方差 ${\sigma }^2$ ($\mu$ 未知) —— ${\chi }^2$ 检验

• 统计量：${\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2(n-1)$
• 拒绝域 (注意不对称)：
  • $H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$ $\Rightarrow {\chi }^2>{\chi }_{\alpha /2}^2$ 或 ${\chi }^2<{\chi }_{1-\alpha /2}^2$
  • $H_1:{\sigma }^2>{\sigma }_0^2$ $\Rightarrow {\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2$

2. 两个正态总体 (比较)

(1) 均值差 ${\mu }_1-{\mu }_2$ (${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ 未知) —— $t$ 检验

• 统计量：$T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)$ 其中 $S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$。

(2) 方差比 ${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2$ —— $F$ 检验

• 统计量：$F=S_1^2/S_2^2\sim F(n_1-1,n_2-1)$
• 拒绝域 ($H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$)：$F>F_{\alpha /2}$ 或 $F<F_{1-\alpha /2}$。