正态总体的抽样定理

这是第6章的灵魂，也是后续区间估计和假设检验的理论基石。一定要背下来！

设总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，样本为 $X_1,\dots ,X_n$。

定理一：样本均值的分布

$\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$ 标准化后： $Z=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$

定理二：样本方差的分布

$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}=\frac{\sum (X_i-\bar{X}{)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

注意：如果已知 $\mu$，使用 $\sum (X_i-\mu {)}^2/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(n)$。未知 $\mu$ 用 $\bar{X}$ 代替时，自由度损失1。

定理三：独立性

$\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立。

这是一个非常强的结论，仅在正态总体下成立。

定理四：t 统计量的构造 (考试核心)

将定理一和定理二结合（消除未知参数 $\sigma$）： $T=\frac{\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2/{\sigma }^2}{n-1}}}=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

应用：当方差 ${\sigma }^2$ 未知时，用样本标准差 $S$ 代替 $\sigma$，分布从 $N(0,1)$ 变为 $t(n-1)$。