离散型随机变量

描述方式：分布律 (Probability Mass Function)

$P(X=x_k)=p_k,k=1,2,\dots$ 满足 $\sum p_k=1$ 和 $p_k\ge 0$。

三大核心分布

1. (0-1) 分布 / 伯努利分布

• 模型：一次试验，只有成功/失败。
• 记号：$X\sim B(1,p)$
• 分布律：$P(X=k)=p^k(1-p{)}^{1-k},k=0,1$

2. 二项分布 (Binomial Distribution)

• 模型：$n$ 重伯努利试验中成功的次数。
• 记号：$X\sim B(n,p)$
• 分布律： $P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\dots ,n$
• 重点：实际上是放回抽样模型。

3. 泊松分布 (Poisson Distribution)

• 模型：稀有事件在单位时间/空间内发生的次数（如排队人数、电话呼入数）。
• 记号：$X\sim P(\lambda )$ （$\lambda >0$）
• 分布律： $P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },k=0,1,2,\dots$
• 泊松定理（二项分布的近似）： 当 $n$ 很大，$p$ 很小，且 $\lambda =np$ 适中时： $C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}\approx \frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$

  考试技巧：通常 $n\ge 20,p\le 0.05$ 可考虑近似。