统计量及其性质

定义

统计量 (Statistic) 是样本 $X_1,\dots ,X_n$ 的函数 $T(X_1,\dots ,X_n)$，且不包含任何未知参数。

判别技巧：如果表达式中含有 $\mu ,\sigma$ 等未知参数，它就不是统计量（通常称为枢轴变量）。

常用统计量

1. 样本均值： $\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$

   • 性质：$E(\bar{X})=\mu ,D(\bar{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$。

2. 样本方差 (注意分母)： $S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$

   • 性质：$E(S^2)={\sigma }^2$ （这是无偏估计的原因）。

3. 样本 $k$ 阶原点矩： $A_k=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^k$

   • 特例：$A_1=\bar{X}$。

4. 样本 $k$ 阶中心矩： $B_k=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^k$

   • 特例：$B_2=\frac{n-1}{n}{S}^2$ （这是二阶中心矩，是有偏的）。