边缘分布与条件分布

边缘分布 (Marginal Distribution)

从联合分布中“消除”一个变量，只看另一个变量的分布。

边缘分布律：行求和、列求和。 $P (X = x_{i}) = p_{i \cdot} = \sum_{j} p_{ij}$ $P (Y = y_{j}) = p_{\cdot j} = \sum_{i} p_{ij}$

公式：积分积掉不关心的变量。 $f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d y$ $f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d x$

解题痛点：积分上下限的确定。必须画图，根据 $f (x, y)$ 的非零区域，看固定 $x$ 时 $y$ 的变化范围。

类似于条件概率 $P (A ∣ B) = P (A B) / P (B)$ 。

$P (X = x_{i} ∣ Y = y_{j}) = \frac{p _{ij}}{p _{\cdot j}}$

$f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \frac{f ( x , y )}{f _{Y} ( y )}, 其中 f_{Y} (y) > 0$