连续型随机变量

描述方式：概率密度函数 (PDF)

如果存在非负函数 $f(x)$，使得 $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$，则 $X$ 为连续型。

$f(x)$ 的性质

1. 非负性：$f(x)\ge 0$。
2. 归一性：${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$ （解题核心，常用于求系数）。
3. 概率计算：$P(a<X<b)={\int }_a^{b}f(x)dx$。

   几何意义：密度曲线下方的面积。

$f(x)$ 与 $F(x)$ 的关系

• 微分：在 $f(x)$ 连续点，$f(x)=F^{\prime }(x)$。
• 单点概率为0：对于连续型，$P(X=a)={\int }_a^{a}f(x)dx=0$。

  因此，$P(a\le X\le b)=P(a<X<b)$，等号不影响结果。

⚠️ 易错点

• $f(x)$ 不是概率值，它可以大于1。只有积分值（面积）才是概率。
• 求 $F(x)$ 时，如果 $f(x)$ 是分段函数，积分必须分段累加（变上限积分）。