随机事件与样本空间

核心概念

• 随机试验 (E)：可重复、结果已知但无法预测的试验。
• 样本空间 ($\Omega$)：所有可能基本结果的集合。
• 随机事件：样本空间的子集。
  • 基本事件：不能再分解的事件（单点集）。
  • 必然事件：$\Omega$。
  • 不可能事件：$\varnothing$。

事件的关系与运算

类似于集合论，但在概率论中有特定含义：

符号	集合含义	概率含义	备注
$A\subset B$	A是B的子集	A发生必导致B发生	若 $A\subset B$, 则 $P(A)\le P(B)$
$A\cup B$	并集	A与B至少发生一个	加法定理基础
$AB$ 或 $A\cap B$	交集	A与B同时发生	乘法公式基础
$A-B$	差集	A发生且B不发生	$P(A-B)=P(A)-P(AB)$
$\bar{A}$	补集	A不发生 (对立事件)	$P(\bar{A})=1-P(A)$
$AB=\varnothing$	不相交	互不相容 (互斥)	两个事件不能同时发生

💡 关键公式：德·摩根律 (De Morgan’s Laws)

解题利器，用于转换”至少”或”都”这类逻辑。

1. $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$

   语义：“两者都不发生” 等价于 “非A 且 非B”

2. $\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$

   语义：“并非两者都发生” 等价于 “非A 或 非B” (至少有一个不发生)

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复习提示：在做题时，如果看到“至少有一个发生”，第一反应应该是 $1-P(\text{全不发生})$。