随机变量与分布函数

定义

• 随机变量 (X)：将样本空间 $\Omega$ 中的样本点映射为实数的函数 $X(\omega )$。
• 分布函数 (CDF)：描述随机变量落入区间的概率。 $F(x)=P(X\le x),-\infty <x<+\infty$

$F(x)$ 的重要性质 (判别是否为分布函数的依据)

1. 单调不减：若 $x_1<x_2$，则 $F(x_1)\le F(x_2)$。
2. 有界性：$0\le F(x)\le 1$，且 ${\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0,{\lim }_{x\to +\infty }F(x)=1$。
3. 右连续性：${\lim }_{x\to x_0^{+}}F(x)=F(x_0)$。

概率计算公式

利用 $F(x)$ 计算各种区间的概率：

• $P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$ (最常用公式)
• $P(X\le a)=F(a)$
• $P(X>a)=1-F(a)$
• $P(X=a)=F(a)-F(a-0)$ （即跳跃高度，仅对离散型有效；连续型此值为0）

易错点：注意区间端点的开闭。对于连续型随机变量，端点开闭不影响概率；对于离散型，必须严格区分 $<,\le$。