随机变量与联合分布

联合分布函数 (Joint CDF)

$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$ 几何意义：点 $(X,Y)$ 落在左下角无穷矩形区域内的概率。

核心性质

1. 单调性：对 $x,y$ 单调不减。
2. 有界性：$0\le F(x,y)\le 1$。
   • $F(-\infty ,y)=F(x,-\infty )=F(-\infty ,-\infty )=0$
   • $F(+\infty ,+\infty )=1$
3. 混合偏导：对于连续型，$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}=f(x,y)$。

离散型：联合分布律

$P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij},i,j=1,2,\dots$

• 性质：${\sum }_i{\sum }_j{p}_{ij}=1$。
• 表格法：考试中常画表，行和列的边缘概率之和为1。

连续型：联合概率密度 (Joint PDF)

$F(x,y)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(u,v)dudv$

$f(x,y)$ 的性质

1. 非负性：$f(x,y)\ge 0$。
2. 归一性：${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}f(x,y)dxdy=1$（用于求未知常数 $C$）。
3. 概率计算：$P((X,Y)\in G)={\iint }_{G}f(x,y)dxdy$。

   关键技巧：计算概率就是计算 $f(x,y)$ 在区域 $G$ 上的体积（或面积积分）。

⚠️ 常见模型：二维均匀分布

若 $(X,Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布： $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{S_D},& (x,y)\in D\\ 0,& \text{其他}\end{array}$ 其中 $S_D$ 是区域 $D$ 的面积。