随机变量的独立性

定义

若对任意 $x, y$ ，有 $F (x, y) = F_{X} (x) F_{Y} (y)$ ，则称 $X, Y$ 相互独立。

$X, Y$ 独立的充要条件是：对于所有 $i, j$ ， $p_{ij} = p_{i \cdot} \times p_{\cdot j}$ 即：联合概率 = 边缘概率的乘积。

技巧：检查表格中，每一行是否成比例，或者是否有零元素位置不对应（若 $p_{ij} = 0$ 但边缘不为0，则不独立）。

$X, Y$ 独立的充要条件是： $f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)$ 这蕴含了两个条件：

密度函数可分离变量： $f (x, y) = g (x) h (y)$ 。
定义域是矩形： $f (x, y)$ 的非零区域必须是矩形区域（如 $a < x < b, c < y < d$ ）。

反例：若区域是三角形（如 $0 < x < y < 1$ ）或圆形，即使解析式可分离，X与Y也不独立（存在依赖关系）。

若 $(X, Y) \sim N (μ_{1}, σ_{1}^{2}; μ_{2}, σ_{2}^{2}; ρ)$ ，则： $X, Y 相互独立 ⟺ ρ = 0 ⟺ X, Y 不相关$

这是一个特例，一般情况下不相关推不出独立，但在正态分布中可以。