IEEE754浮点数

1. 核心解构

• 公式：$V=(-1{)}^S\times (1.M)\times 2^{E-Bias}$。
• 单精度 32 bit，双精度 64 bit
• 三大组件：
  1. S (Sign)：符号位，1为负，0为正。
  2. E (Exponent)：阶码，采用移码 (Bias) 表示。
     • 单精度 Bias = 127，双精度 Bias = 1023。
     • 为什么用移码？ 为了方便浮点数比大小（直接比较二进制串即可，无需处理符号位）。
       • 移码 = 补码的符号位取反
  3. M (Mantissa)：尾数，隐含了最高位的 “1”（规格化数），从而多获得1位精度。

为什么要用 127 来做偏置值？

由于阶码 0、255 保留，故真值指数范围为： -126 ~ 127 选127，最大指数能更大，所损失的只是最小的正数

[!补充] 补充 定点小数：整数位表示符号，后面

• 原码：不变
• 反码：取反
• 补码：反码末尾加一

• 存储阶码 = 真实阶码 + Bias

  • 对于 k 位阶码，Bias 的取值为 $(2^{k-1}-1)$，单精度 8 位，双精度 11 位
  • 通过引入阶码，所有有效阶码的存储值都统一为非负整数

• 规格化

  • • 二进制 101.1（对应十进制 5.5）→ 小数点左移 2 位 → 1.011，指数 + 2 → 规格化形式：1.011×2²
  • 默认整数位为 1

• 非规格化数：

  • 阶码可以全零或全1，但是尾数不能为0，为了填补 0 到 $2^{-126}$ 之间的空隙。尾数不再隐含 1.

2. 特殊值与漏洞

机器不仅能表示数，还能表示“状态”：

• NaN (Not a Number)：$E=全1,M\ne 0$。用于调试或攻击（如 Poisoning AI Model）。
• Infinity ($\pm \infty$)：$E=全1,M=0$。除以0产生，可用于绕过某些数学检查。
• 非规格化数 (Denormalized)：$E=全0,M\ne 0$。用于填补 0 到最小规格化数之间的空隙，防止下溢（Underflow）突然崩塌。

3. 期末必考

• 转换题：十进制转 IEEE 754 hex。
  • 步骤：整数转二进制 → 小数转二进制 → 规格化移位 → 计算阶码(+127) → 拼接。