浮点数运算

1. 运算步骤 (The Pipeline)

浮点运算比整数复杂得多，无法在一个周期内完成。通常分为 5 步：

1. 对阶 (Align Exponents)：
   • 核心原则：小阶看齐大阶。
   • 操作：阶码小的数的尾数右移，直到阶码相等。
   • 代价：精度丢失（小树的低位被移出）。
2. 尾数加减 (Add/Sub Mantissas)：
   • 执行定点加减运算。注意隐含的 “1”。
3. 规格化 (Normalize)：
   • 左规：结果太小 (0.001…)，尾数左移，阶码减。
   • 右规：结果太大 (10.1…)，尾数右移，阶码加。
   • 溢出检查：阶码上溢 (Overflow) $\to \infty$；阶码下溢 (Underflow) $\to 0$。
4. 舍入 (Round)：
   • 因为对阶或右规导致了位数丢失，需要根据 IEEE 754 规则舍入 (就近舍入、朝0舍入等)。
   • 保护机制：运算过程中会多保留几位 (保护位 Guard bit, 舍入位 Round bit, 粘位 Sticky bit) 以保证最后舍入的精度。
5. 符号位处理。

2. 精度与漏洞 (Precision & Bugs)

• 大数吃小数：由于对阶机制，如果一个巨大的数 (e.g., $10^{20}$) 加一个很小的数 (e.g., $10^{-20}$)，小树的尾数会全部被移出，导致加法无效。
  • 场景：在循环累加中，必须先加小数，再加大数。
• 非结合律：浮点数加法不满足结合律 $(A+B)+C\ne A+(B+C)$。这对科学计算和金融计算是灾难。

3. MIPS 浮点指令

• MIPS 有独立的浮点寄存器堆 ($f0 - $f31) 和协处理器 (Co-processor 1)。
• 这说明浮点运算和整数运算在硬件上是物理隔离的。

4. 期末生存指南 (Exam Survival)

• 计算题流程：
  1. 转二进制 (注意 IEEE 754 格式)。
  2. 求阶差 $\Delta E$。
  3. 对阶 (移尾数)。
  4. 尾数加减。
  5. 规格化 (重中之重，别忘了调整阶码)。
  6. 判断溢出。